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Numerales
Numerales

01/APR/2023
01/APR/2023

 

Pedro Meseguer

Los episodios registrados en Momentos estelares de la ciencia (1959), el libro de Isaac Asimov que nos ocupa, están ordenados cronológicamente. Del primero dedicado a Arquímedes (-287,-211) pasa a Gutemberg (1400,1468). Distan más de 1.600 años, ¿es que no pasó nada digno de mención en la ciencia en ese periodo? Creo que sí ocurrieron eventos notables, y aquí destaco una contribución muy importante y universalmente apreciada: el sistema de numeración indoarábigo, compuesto por los humildes dígitos del 0 al 9 que, con su notación posicional, permiten cuantificar cualquier magnitud y simplifican las operaciones aritméticas. En descargo del libro de Asimov, es cierto que no sucedió en un evento específico —no fue un momento estelar— ni tampoco se puede identificar con la aportación de una persona concreta. Pero esas incertidumbres no empañan su extraordinario impacto: ha sido una herramienta nuclear en el desarrollo de la ciencia y la tecnología, además de constituir un elemento utilísimo para el comercio y la industria. Hasta tal punto esa numeración está insertada en nuestra cultura que se hace muy difícil imaginar un mundo sin esos números que manejamos hoy con tanta soltura.

            Todas las civilizaciones antiguas desarrollaron sistemas de numeración. El paso de cazadores-recolectores a agricultores-ganaderos exigía cuantificar las cosechas, contar las cabezas de ganado, y realizar operaciones sencillas con esas cantidades como sumas y restas. Las crecidas del Nilo, un suceso que se repetía cada año, requerían de conocimientos geométricos elaborados para restituir las parcelas tras la inundación, como los casos particulares conocidos de lo que después se llamaría el teorema de Pitágoras.

            En breve, un sistema de numeración se compone de un conjunto de símbolos, también llamados dígitos, que tienen un valor numérico intrínseco y un conjunto de reglas que permiten construir y representar todos los números naturales[1]. La representación de un número en un sistema particular se denomina numeral. Estos sistemas pueden ser posicionales o no; en los primeros, la posición (columna) de cada dígito en el numeral influye tanto como su valor intrínseco en el número representado; en los segundos, la columna de un dígito no interviene en el valor del número representado, y solo cuenta su valor intrínseco. Como ejemplo de sistema posicional tenemos el habitual de números arábigos en base 10, en donde el numeral 1492 es igual a 1x103 + 4x102 + 9x101 + 2 x 100, mientras que en un sistema no posicional como el romano esa misma cantidad se escribe MCDXCII. Los romanos desconocían el cero, ya que no es necesario en el manejo de las operaciones aritméticas en su sistema de numeración. Y sobre el uso de IIII en lugar de IV para representar el 4 en la esfera de relojes con numeración romana, hay una extensa explicación aquí.

            La mayor ventaja de un sistema posicional frente a uno que no lo sea es la simplicidad en las operaciones aritméticas. Si sumar y restar en números romanos no es nada trivial, multiplicar se vuelve una operación difícil, y dividir es bastante complejo (se supone que los romanos dividían por restas sucesivas, pero no se conoce con precisión el método que empleaban). El ábaco, inventado en China, fue una herramienta muy utilizada en la antigua Roma para ayudarse con las operaciones aritméticas (como curiosidad, las bolitas del ábaco las llamaban «calculi», de donde deriva la palabra cálculo en matemáticas, y también cálculo en medicina).

            La historia del origen del sistema indoarábigo permanece nebulosa, aunque su difusión queda más clara. Según la opinión generalizada en los historiadores, se inventó en la India —los árabes les llaman «números indios»—, posiblemente inspirado en un sistema de numeración chino, también posicional. Esta contribución se puede cifrar entre los siglos V y VII de nuestra era. Posteriormente, fue popularizada por sabios musulmanes —tanto Al-Juarismi como Al-Kindi escribieron sendos textos sobre cómo operar con «los números de la India» en el siglo IX[2]— y entró en Europa por los árabes de Al-Andalus un siglo más tarde. Las primeras menciones de estos numerales en la literatura occidental se encuentran en el Codex Vigilanus del año 976. El matemático italiano Fibonacci contribuyó a su difusión por Europa con su Liber Abaci, publicado en 1202. Sin embargo, su implantación fue lenta. Ello se debió a que los comerciantes guardaron este ventajoso sistema de numeración para ellos, como un conjunto de procedimientos secretos (de ahí que «cifra» signifique numeral y «cifrado» un código en clave). Así que durante siglos coexistió con el sistema romano, aunque tras la invención de la imprenta de tipos móviles por Gutenberg en 1450 este sistema de numeración empezó a generalizarse.

 

[1] Por simplicidad me limito a los números naturales, pero las ideas expuestas se pueden generalizar a los números reales sin mayor dificultad.

[2] Al-Juarismi fue un matemático —del que deriva el nombre de “algoritmo”— y Al-Kindi fue un filósofo. Ambos alcanzaron un gran renombre y trabajaron en la Casa de la Sabiduría, en Bagdad, en el siglo IX.

Pedro Meseguer

Los episodios registrados en Momentos estelares de la ciencia (1959), el libro de Isaac Asimov que nos ocupa, están ordenados cronológicamente. Del primero dedicado a Arquímedes (-287,-211) pasa a Gutemberg (1400,1468). Distan más de 1.600 años, ¿es que no pasó nada digno de mención en la ciencia en ese periodo? Creo que sí ocurrieron eventos notables, y aquí destaco una contribución muy importante y universalmente apreciada: el sistema de numeración indoarábigo, compuesto por los humildes dígitos del 0 al 9 que, con su notación posicional, permiten cuantificar cualquier magnitud y simplifican las operaciones aritméticas. En descargo del libro de Asimov, es cierto que no sucedió en un evento específico —no fue un momento estelar— ni tampoco se puede identificar con la aportación de una persona concreta. Pero esas incertidumbres no empañan su extraordinario impacto: ha sido una herramienta nuclear en el desarrollo de la ciencia y la tecnología, además de constituir un elemento utilísimo para el comercio y la industria. Hasta tal punto esa numeración está insertada en nuestra cultura que se hace muy difícil imaginar un mundo sin esos números que manejamos hoy con tanta soltura.

            Todas las civilizaciones antiguas desarrollaron sistemas de numeración. El paso de cazadores-recolectores a agricultores-ganaderos exigía cuantificar las cosechas, contar las cabezas de ganado, y realizar operaciones sencillas con esas cantidades como sumas y restas. Las crecidas del Nilo, un suceso que se repetía cada año, requerían de conocimientos geométricos elaborados para restituir las parcelas tras la inundación, como los casos particulares conocidos de lo que después se llamaría el teorema de Pitágoras.

            En breve, un sistema de numeración se compone de un conjunto de símbolos, también llamados dígitos, que tienen un valor numérico intrínseco y un conjunto de reglas que permiten construir y representar todos los números naturales[1]. La representación de un número en un sistema particular se denomina numeral. Estos sistemas pueden ser posicionales o no; en los primeros, la posición (columna) de cada dígito en el numeral influye tanto como su valor intrínseco en el número representado; en los segundos, la columna de un dígito no interviene en el valor del número representado, y solo cuenta su valor intrínseco. Como ejemplo de sistema posicional tenemos el habitual de números arábigos en base 10, en donde el numeral 1492 es igual a 1x103 + 4x102 + 9x101 + 2 x 100, mientras que en un sistema no posicional como el romano esa misma cantidad se escribe MCDXCII. Los romanos desconocían el cero, ya que no es necesario en el manejo de las operaciones aritméticas en su sistema de numeración. Y sobre el uso de IIII en lugar de IV para representar el 4 en la esfera de relojes con numeración romana, hay una extensa explicación aquí.

            La mayor ventaja de un sistema posicional frente a uno que no lo sea es la simplicidad en las operaciones aritméticas. Si sumar y restar en números romanos no es nada trivial, multiplicar se vuelve una operación difícil, y dividir es bastante complejo (se supone que los romanos dividían por restas sucesivas, pero no se conoce con precisión el método que empleaban). El ábaco, inventado en China, fue una herramienta muy utilizada en la antigua Roma para ayudarse con las operaciones aritméticas (como curiosidad, las bolitas del ábaco las llamaban «calculi», de donde deriva la palabra cálculo en matemáticas, y también cálculo en medicina).

            La historia del origen del sistema indoarábigo permanece nebulosa, aunque su difusión queda más clara. Según la opinión generalizada en los historiadores, se inventó en la India —los árabes les llaman «números indios»—, posiblemente inspirado en un sistema de numeración chino, también posicional. Esta contribución se puede cifrar entre los siglos V y VII de nuestra era. Posteriormente, fue popularizada por sabios musulmanes —tanto Al-Juarismi como Al-Kindi escribieron sendos textos sobre cómo operar con «los números de la India» en el siglo IX[2]— y entró en Europa por los árabes de Al-Andalus un siglo más tarde. Las primeras menciones de estos numerales en la literatura occidental se encuentran en el Codex Vigilanus del año 976. El matemático italiano Fibonacci contribuyó a su difusión por Europa con su Liber Abaci, publicado en 1202. Sin embargo, su implantación fue lenta. Ello se debió a que los comerciantes guardaron este ventajoso sistema de numeración para ellos, como un conjunto de procedimientos secretos (de ahí que «cifra» signifique numeral y «cifrado» un código en clave). Así que durante siglos coexistió con el sistema romano, aunque tras la invención de la imprenta de tipos móviles por Gutenberg en 1450 este sistema de numeración empezó a generalizarse.

 

[1] Por simplicidad me limito a los números naturales, pero las ideas expuestas se pueden generalizar a los números reales sin mayor dificultad.

[2] Al-Juarismi fue un matemático —del que deriva el nombre de “algoritmo”— y Al-Kindi fue un filósofo. Ambos alcanzaron un gran renombre y trabajaron en la Casa de la Sabiduría, en Bagdad, en el siglo IX.

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